2019年成人高考高起點文數(shù)考試章節(jié)難點解析3

難點3 運用向量法解題

　　平面向量是新教材改革增加的內(nèi)容之一，近幾年的全國使用新教材的高考試題逐漸加大了對這部分內(nèi)容的考查力度，本節(jié)內(nèi)容主要是幫助考生運用向量法來分析，解決一些相關(guān)問題。

　　●難點磁場

　　（★★★★★）三角形ABC中，A（5，-1）、B（-1，7）、C（1，2），求：（1）BC邊上的中線

　　AM的長；（2）∠CAB的平分線AD的長；（3）cosABC的值。

　　●案例探究

　　[例1]如圖，已知平行六面體ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD.

　　（1）求證：C1C⊥BD.

　　（2）當(dāng) 的值為多少時，能使A1C⊥平面C1BD?請給出證明。

　　命題意圖：本題主要考查考生應(yīng)用向量法解決向量垂直，夾角等問題以及對立體幾何圖形的解讀能力。

　　知識依托：解答本題的閃光點是以向量來論證立體幾何中的垂直問題，這就使幾何問題代數(shù)化，使繁瑣的論證變得簡單。

　　錯解分析：本題難點是考生理不清題目中的線面位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，再就是要清楚已知條件中提供的角與向量夾角的區(qū)別與聯(lián)系。

　　技巧與方法：利用a⊥b a·b=0來證明兩直線垂直，只要證明兩直線對應(yīng)的向量的數(shù)量積為零即可。

　　（1）證明：設(shè) =a, =b, =c,依題意，|a|=|b|， 、 、 中兩兩所成夾角為θ，于是 =a-b， =c（a-b）=c·a-c·b=|c|·|a|cosθ-|c|·|b|cosθ=0,∴C1C⊥BD.

　　（2）解：若使A1C⊥平面C1BD，只須證A1C⊥BD，A1C⊥DC1，

　　由 =（a+b+c）·（a-c）=|a|2+a·b-b·c-|c|2=|a|2-|c|2+|b|·|a|cosθ-|b|·|c|·cosθ=0,得

　　當(dāng)|a|=|c|時，A1C⊥DC1，同理可證當(dāng)|a|=|c|時，A1C⊥BD，

　　∴ =1時，A1C⊥平面C1BD.

　　[例2]如圖，直三棱柱ABC—A1B1C1，底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，AA1=2，M、N分別是A1B1、A1A的中點。

　　（1）求 的長；

　　（2）求cos< >的值；

　　（3）求證：A1B⊥C1M.

　　命題意圖：本題主要考查考生運用向量法中的坐標(biāo)運算的方法來解決立體幾何問題。屬

　　★★★★級題目。

　　知識依托：解答本題的閃光點是建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系O-xyz,進而找到點的坐標(biāo)和求出向量的坐標(biāo)。

　　錯解分析：本題的難點是建系后，考生不能正確找到點的坐標(biāo)。

　　技巧與方法：可以先找到底面坐標(biāo)面xOy內(nèi)的A、B、C點坐標(biāo)，然后利用向量的模及方向來找出其他的點的坐標(biāo)。

　　（1）解：如圖，以C為原點建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.

　　依題意得：B（0，1，0），N（1，0，1）

　　∴| |= .

　　（2）解：依題意得：A1（1，0，2），C（0，0，0），B1（0，1，2）。

　　∴ = =（0，1，2）

　　=1×0+（-1）×1+2×2=3

　　| |= （3）證明：依題意得：C1（0，0，2），M（ ）

　　∴ ∴A1B⊥C1M.

　　●錦囊妙計

　　1.解決關(guān)于向量問題時，一要善于運用向量的平移、伸縮、合成、分解等變換，正確地進行向量的各種運算，加深對向量的本質(zhì)的認識。二是向量的坐標(biāo)運算體現(xiàn)了數(shù)與形互相轉(zhuǎn)化和密切結(jié)合的思想。

　　2.向量的數(shù)量積常用于有關(guān)向量相等，兩向量垂直、射影、夾角等問題中。常用向量的直角坐標(biāo)運算來證明向量的垂直和平行問題；利用向量的夾角公式和距離公式求解空間兩條直線的夾角和兩點間距離的問題。

　　3.用空間向量解決立體幾何問題一般可按以下過程進行思考：

　　（1）要解決的問題可用什么向量知識來解決？需要用到哪些向量？

　　（2）所需要的向量是否已知？若未知，是否可用已知條件轉(zhuǎn)化成的向量直接表示？

　　（3）所需要的向量若不能直接用已知條件轉(zhuǎn)化成的向量表示，則它們分別最易用哪個未知向量表示？這些未知向量與由已知條件轉(zhuǎn)化的向量有何關(guān)系？

　　（4）怎樣對已經(jīng)表示出來的所需向量進行運算，才能得到需要的結(jié)論？